Die Logik der Mathematik ist ein großes Thema für die Wissenschaft.
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BerlinBenjamin Franklin hatte am 17. September 1787 das Schlusswort, als die Arbeit zur Verfassung der Vereinigten Staaten abgeschlossen war. Als Delegierter des Staates Pennsylvania  erklärte er, dass auch der endgültige Entwurf nicht vollständig zufriedenstellend sei, man aber nie Perfektion erreichen könne. Also  unterstützte er die neue Verfassung und bat auch alle Kritiker, sie anzunehmen. Und so geschah es. Was Franklin damals nicht ahnen konnte: Ein Mathematiker aus Europa machte später deutlich, dass Franklins Bedenken in Sachen Perfektion berechtigt waren.

Kurt Gödel, der in dieser Woche - am 28. April 1906 - zur Welt gekommen war und 1978 verstarb, hieß der Mann. Er wird wahlweise als Mathematiker, Logiker und als Philosoph beschrieben. Gödel führte den Beweis, dass ein formales System nicht logisch konsistent und zugleich vollständig sein kann: „Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig“, erklärte er.

Neben diesem ersten Unvollständigkeitssatz – dem ein zweiter folgte („Jedes hinreichend mächtige konsistente formale System kann die eigene Konsistenz nicht beweisen.“) – wollte Gödel eine logische Lücke in der US-Verfassung entdeckt haben, die es gestattet, dass ein Diktator die Macht ergreift.

Kurt Gödel wurde vor 114 Jahren in Brünn (Brno) geboren. Die Stadt gehörte damals zu Österreich-Ungarn. Nach dem Ersten Weltkrieg lebte Gödel in Wien und nahm noch als Gymnasiast 1923 die österreichische Staatsbürgerschaft an. An der dortigen Universität studierte er zunächst theoretische Physik, bald widmete er sich unter dem Einfluss seiner Lehrer mathematischen Problemen, besonders in der formalen Logik und der Mengenlehre.

1930 promovierte Gödel mit einer Arbeit „Über die Vollständigkeit des Logikkalküls“. Seine Arbeit revolutionierte die Mathematik, auch wenn er bei der öffentlichen Präsentation seines Unvollständigkeitssatzes auf der Tagung der Mathematiker 1930 in Königsberg auf vollständiges Unverständnis seiner Kollegen traf.

Kurt Göbel im Alter von 19 Jahren. 
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In den USA wurde seine Zertrümmerung des Hilbertprogramms etwas besser aufgenommen. Der Göttinger David Hilbert hatte im Jahr 1900 auf dem internationalen Kongress der Mathematiker in Paris eine Liste mit 23 ungelösten mathematischen Problemen vorgelegt. Ziel des Hilbertprogrammes war es, all diese Probleme zu lösen. Hilbert fragte beispielsweise, wie bewiesen werden kann, dass die arithmetischen Axiome widerspruchsfrei sind. Gödel löste das Problem, indem er bewies, dass dies nicht mit Hilfe der arithmetischen Axiome beantwortet werden kann.

Gödel wurde an das Institute for Advanced Studies nach Princeton eingeladen und reiste 1933 nach Amerika. Nach Wien zurückgekehrt, verlor er aufgrund der politischen Veränderungen seine Dozentur. Lehraufträge in Princeton und an der University of Notre Dame hielten ihn über Wasser. Noch einmal nach Europa zurückgekehrt, musste Gödel feststellen, dass seine Forschung nicht mit der Deutschen Mathematik der Nationalsozialisten vereinbar war. Er und seine Frau Adele emigrierten in die USA.

Am Institut in Princeton half ihnen der eingebürgerte österreichische Landsmann Oskar Morgenstern beim Einleben und Einrichten in den Alltag. Noch wichtiger war für Kurt Gödel die Bekanntschaft mit Albert Einstein, mit dem ihn zeitlebens eine tiefe Freundschaft verband. Einstein erklärte einmal, er arbeite nur deshalb am Institut, damit er abends gemeinsam mit Gödel nach Hause spazieren dürfe.

Morgenstern und Einstein waren bereits US-Staatsbürger und rieten Gödel, seine Einbürgerung zu beantragen. Ganz im Stil seiner wissenschaftlichen Arbeit begann Gödel damit, für die Prüfung bei der Einbürgerung alle Gesetzestexte zu lesen und die Geschichte der USA zu studieren. Dabei stieß er auf eine logische Lücke in der US-Verfassung, über die er sich, einer Tagebuch-Notiz von Oskar Morgenstern zufolge, sehr aufregte.

Am 5. Dezember 1947 fuhr Kurt Gödel mit Oskar Morgenstern und Albert Einstein als Zeugen zur Einbürgerungs-Anhörung in die Bezirksstadt Trenton. Über die Verhandlung vor dem Richter gibt es viele Berichte aus dritter Hand, etwa eine szenische Spiegel-Geschichte, in der der Richter „blaffte“ und Gödel „aufbrausend“ antwortete.

Erst im Jahren 2006 fand man die Erinnerungen von Oskar Morgenstern an diesen denkwürdigen Tag wieder. Er hat den Dialog zwischen dem Richter Philip Forman und Kurt Gödel so aufgeschrieben:

„Nun, Mister Gödel, wo kommen Sie her?“
„Wo ich herkomme? Österreich.“
„Was für eine Regierung hatten sie in Österreich?“
„Es war eine Republik, doch die Verfassung war so, dass sie in eine Diktatur verwandelt wurde.“
„Oh, das ist schlecht. Das kann in diesem Land nicht passieren.“
„Aber ja. Ich kann es beweisen.“
„Oh Gott. Lassen wir uns da nicht ins Detail gehen.“

Richter Philip Forman war ein Freund von Albert Einstein und folgte vielleicht einem Wink oder einem Augenrollen des Physikers. Jedenfalls brach er die Befragung zur großen Erleichterung von Morgenstern und Einstein ab. Am 2. April 1948 konnte Kurt Gödel seinen Eid auf die US-Verfassung ablegen, auch wenn er sie für unvollständig hielt.

Wie Gödels Beweis ausgesehen hätte, ist also nicht bekannt. Für Juristen und Logiker gibt es eine ausführliche Studie von Enrique Guerra-Pujol, die alle möglichen gödelisierende und nicht-gödelisierenden Möglichkeiten aufführt, wie in den USA eine Diktatur entstehen kann. Darunter befindet sich die bizarre Idee, dass ein Präsident so viele (ihm gesonnene) neue Bundesstaaten aufnimmt, bis er in die absolute Mehrheit hat.

Mehrheitlich wird vermutet, dass Gödel den Zusatzartikel 5 der US-Verfassung gemeint haben könnte, mit dem die Verfassung selbst revidiert werden kann. Damit die Verfassung geändert werden kann, müssen jeweils zwei Drittel des Repräsentantenhauses und des Senats sowie drei Viertel der Bundesstaaten zustimmen. Eine solche Generalklausel gibt es in vielen Verfassungen, nur nicht im deutschen Grundgesetz. Nach den Erfahrungen des Nationalsozialismus legten die Väter unserer Verfassung fest, dass jedwede Änderungen der Artikel 1 und 20 des Grundgesetzes ungültig sind.

Eine interessante Erklärung von Gödels Einsicht in den Fehler der US-Verfassung hat der Informatiker Peter Dietz in seinem Buch „Menschengleiche Maschinen“ über Gödels Logik formuliert: „In eine einfachere Sprache übersetzt lautet die Konsequenz daraus, dass selbst Mathematiker, die Adepten der formal strengsten Disziplin, die Wahrheit einer Aussage oft eher ‚sehen‘, als dass sie diese mit einem Algorithmus zu beweisen in der Lage sind. Computer aber können nur algorithmisch vorgehen; folglich sind sie dem Menschen prinzipiell unterlegen.“

Gödel hatte also das Problem erkannt und beschrieben - zum Glück ist die Wahrscheinlichkeit der Umsetzung sehr gering. Er selbst machte dann Karriere. Zwar dauerte es, bis er 1953 eine Professur in Princeton erhielt, doch danach wurde er in die National Academy of Sciences, 1957 in die American Academy of Arts and Sciences und 1961 in die American Philosophical Society gewählt. In den 1960er-Jahren hörte er auf, Vorlesungen zu geben. Aus gesundheitlichen Gründen. Vor 50 Jahren versuchte er zum letzten Mal, eine Schrift zu publizieren, die aber zurückgenommen werden musste.

Der Text erschien zuerst bei heise.de